Bir şamandıra mümkün olan en küçük yüzüğü ekleme

Question

Bir şamandıra için mümkün olan en küçük değeri bir kayan noktaya eklemek istiyorum. Yani, örneğin, I + mümkün olan en küçük şamandıra 1,0 almak için bunu denedi:

float result = 1.0f + std::numeric_limits<float>::min(); 

Ama şu sonuçları almak yaptıktan sonra:

(result > 1.0f) == false 
(result == 1.0f) == true 

Visual Studio 2015 kullanıyorum Bu neden oluyor? Bunu aşmak için ne yapabilirim?

Answer 1

Bir sonraki gösterilebilir değeri 1'den sonra isterseniz, std::nextafter için <cmath> başlığından bir işlev vardır.

float result = std::nextafter(1.0f, 2.0f); 

İkinci bağımsız değişken yönünde ilk argümandan başlayarak bir sonraki gösterilebilir değeri döndürür. Eğer 1'in altına sonraki değeri bulmak istiyorsa Yani, bu yapabilirdi:

float result = std::nextafter(1.0f, 0.0f); 

1 ve sonraki gösterilebilen değer arasındaki fark daha büyüktür çünkü çalışmıyor 1'e en küçük pozitif Temsil değeri ekleme 0 ile bir sonraki gösterilebilir değer arasındaki fark.

Answer 2

min yaklaşık 2 ^-126 (-126 bir şamandıra için izin verilen minimum üs olan) (normalize edilmiş form) şamandıra varsayabiliriz küçük sıfır olmayan değeri, diğer bir deyişle bir şeydir; Şimdi, eğer 1'e toplarsanız, hala 1 alırsınız, çünkü bir float sadece 23 bit mantissa sahiptir, böylelikle küçük bir değişim böyle bir "büyük" sayıda temsil edilemez (126 bit mantis görmeniz gerekir) Bir değişiklik toplamı 2 ^-126 1). bu mantis son bit etkilediği -

1 mümkün olan en az değişikliği, bunun yerine, epsilon aslında 2 ^-23 içinde (sözde makine epsilon) 'dir.

Answer 3

Gözlemlediğiniz "sorun", çok doğa kayan nokta aritmetiğinden kaynaklanmaktadır.

FP'de hassasiyet, ölçeğe göre değişir; 1.0 değeri etrafında 1.0 ve 1.0+min_representable arasındaki farkı ayırt edebilmek için yeterli değildir, burada min_representable sıfırdan daha büyük olası en küçük değerdir (sadece en küçük normalleştirilmiş sayıyı, std::numeric_limits<float>::min()'u dikkate alsak bile, en küçük denormal büyüklük birkaç mertebedir.) daha küçük.

çift hassasiyetli 64 bit IEEE-754 kayan nokta sayıları ile Örneğin, x=10000000000000000 ölçeğinde (10) etrafında bu x ve x+1 ayırt etmek mümkün değildir.

---

ondalık nokta "yüzen" çünkü skala ile çözünürlüklü değişiklikleri, adı "kayan nokta" için çok nedeni olması. Bunun yerine sabit bir nokta gösterimi sabit bir çözünürlüğe sahip olacaktır (örneğin, 1/65536 ~ 0.00001 arasında bir hassasiyete sahip birimlerin 16 ikili rakamı ile).

---

küçük değeri: IEEE-754 32-bit kayan nokta biçiminde Örneğin

işareti bir bit, üs için 8 bit ve mantis için 31 bit orada eps, 1.0f + eps != 1.0fFLT_EPSILON veya std::numeric_limits<float>::epsilon olarak önceden tanımlanmış bir sabit olarak kullanılabilir. Ayrıca, epsilon'un yuvarlama hatalarıyla nasıl ilişkili olduğunu ele alan machine epsilon on Wikipedia'a da bakınız.

I.I.I.e. epsilon, burada beklediğinizi yapan ve 1.0'a eklendiğinde fark yaratan en küçük değerdir.

Bunun daha genel sürümü (1.0 dışındaki numaralar için) son yerde (mantissa) 1 birim olarak adlandırılır. Wikipedia'nın ULP article.

Answer 4

Kayan nokta değerini mümkün olan en küçük miktarda artırmak/azaltmak için, nextafter'u +/- infinity() yönünde kullanın.

Yalnızca next_after(x,std::numeric_limits::max()) kullanırsanız, x durumunun hatalı olması durumunda sonuç yanlış olabilir.

#include <iostream> 
#include <limits> 
#include <cmath> 

template<typename T> 
T next_above(const T& v){ 
    return std::nextafter(1.0,std::numeric_limits<T>::infinity()) ; 
} 
template<typename T> 
T next_below(const T& v){ 
    return std::nextafter(1.0,-std::numeric_limits<T>::infinity()) ; 
} 

int main(){ 
    std::cout << next_below(1.0) - 1.0<< std::endl; // gives eps 
    std::cout << next_above(1.0) - 1.0<< std::endl; // gives ~ -eps/2 

    // Note: 
    std::cout << std::nextafter(std::numeric_limits<double>::infinity(), 
    std::numeric_limits<double>::infinity()) << std::endl; // gives inf 
    std::cout << std::nextafter(std::numeric_limits<double>::infinity(), 
    std::numeric_limits<double>::max()) << std::endl; // gives 1.79769e+308 

}