Numpy'nin iç ve dışkısı ile hesaplanan özvektörler eşleşmiyor

Question

Tekil değer ayrışımı M = USV *. Daha sonra M * M'nin özdeğer ayrışması M * M = V (S * S) V * = VS * U * USV * verir. Ben eigh işlevi tarafından döndürülen özvektörler svd işlevi tarafından döndürülen aynıdır göstererek Numpy ile bu eşitliğin doğrulamak isteyen:

import numpy as np 
np.random.seed(42) 
# create mean centered data 
A=np.random.randn(50,20) 
M= A-np.array(A.mean(0),ndmin=2) 

# svd 
U1,S1,V1=np.linalg.svd(M) 
S1=np.square(S1) 
V1=V1.T 

# eig 
S2,V2=np.linalg.eigh(np.dot(M.T,M)) 
indx=np.argsort(S2)[::-1] 
S2=S2[indx] 
V2=V2[:,indx] 

# both Vs are in orthonormal form 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V1,axis=1), np.ones(V1.shape[0]))) 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V1,axis=0), np.ones(V1.shape[1]))) 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V2,axis=1), np.ones(V2.shape[0]))) 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V2,axis=0), np.ones(V2.shape[1]))) 

assert np.all(np.isclose(S1,S2)) 
assert np.all(np.isclose(V1,V2)) 

son onaylama işlemi başarısız olur. Niye ya?

Answer 1

Sorununuzu ayıklamak için sadece küçük sayılarla oynayın.

v2 = array([[ 0.33872745, -0.94088454], 
    [ 0.94088454, 0.33872745]]) 

onlar sadece farklılık: Benim rastgele durumda büyüklüğü (50,20)

ile çok daha büyük matris yerine A=np.random.randn(3,2) ile

Başlat, ben

v1 = array([[-0.33872745, 0.94088454], 
    [-0.94088454, -0.33872745]]) 

ve v2 için bulmak Bir işaret ve açıkça, birim modülüne sahip olsa bile, vektör bir işaret için farklılık gösterebilir.

Şimdi yine, Tamam budur ... başarısız, orijinal büyük matris için kandırmasına

assert np.all(np.isclose(V1,-1*V2)) 

çalışırsanız. Ne olur, bazı vektörler -1 ile çarpıldı, bazıları değil.

vektörler arasındaki eşitlik denetlemek için doğru bir yoldur: gerçekten

assert allclose(abs((V1*V2).sum(0)),1.) 

ve bu miktar yazdırabilirsiniz bu sizi nasıl çalıştığını hissi almak için:

(V1*V2).sum(0) 

yani gerçektendir ya +1 veya -1 vektöre bağlı olarak:

array([ 1., -1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 
    1., -1., 1., 1., 1., -1., -1.]) 

DÜZENLEME: Çoğu durumda, özellikle rastgele bir matristen başlıyorsa bu gerçekleşir. Bir veya daha fazla özdeğerler 1 daha büyük boyutta bir eigenspace varsa aşağıda onun yorumunda @Sven Marnach tarafından belirttiği gibi bu test olasılıkla, başarısız olacağını ancak Uyarı:

sadece çarpılır vektörleri dışındaki farklar olabilir -1. özdeğerler herhangi bir çok boyutlu eigenspace varsa , sen o eigenspace bir keyfi ortonormal alabilirsiniz ve böyle bazlar bir arbitraty üniteryen matris tarafından birbirlerine karşı döndürülmüş olabilir