Haskell functors endofunctors'ın tümü var mı?

Question

Biraz kafam karıştı ve beni düzeltmek için birine ihtiyacım var. benim şimdiki anlayış hatlarıyla sağlar:

E bir endofunctor olan

ve A bazı kategoridir:

E : A -> A. 

Haskell tüm türleri ve morfizimler Hask kategorisinde olduğundan, Haskell herhangi funktor değil ayrıca bir endofunctor? F : Hask -> Hask.

Yanlış olduğumu ve bu şekilde aşırı basitleştirdiğimi iyi hissediyorum, ve birisinin bana ne kadar aptalım olduğunu söylemesini istiyorum. Teşekkürler.

Answer 1

"Haskell'de" veya "Functor" nu sorup sormadığınızı açıklığa kavuşturmak isteyebilirsiniz. Kategori Teori terimleri Haskell'de kullanıldığında hangi kategorinin varsayıldığı her zaman açık değildir. Evet, varsayılan varsayım, morfizma olarak işlev gören Haskell tipleri kategorisi olarak alınan Hask'dur. Bu durumda, Hask no'lu bir endofuntör F, F (A) tipi herhangi bir tip ve herhangi bir F tipi (A) ve (A) arasındaki iki fonksiyon arasında F (f) F (A) tipi herhangi bir fonksiyon için F (A) tipi herhangi bir fonksiyonu eşler.) ve F (B). O zaman f tür * -> * ile bir tür yapıcı bir tip (f a) için her türlü a map sadece bu endofunctors kendimizi sınırlamak durumunda

, o zaman tip (a -> b) -> (f a -> f b) ile daha yüksek dereceden fonksiyonu olarak işlevler için ilişkili harita tanımlayabilir Tabii ki, Functor olarak adlandırılan tip sınıftır.

Ancak kolayca böyle Either a t için bir tür a koyan bir functor olarak Functor, bir örneği olarak (doğrudan) için yazılı olamaz HASK uslu endofunctors hayal edebilirsiniz. Bir functor fazla bir anlamı tamamen başka kategoriye HASK belli ki orada değil ederken, bu ^op Haskiçin HASK bir (kontravaryant) functor dikkate almak mantıklı. Bunun ötesinde

, Functor örnekleri mutlaka böylece aynı zamanda bir kategori oluşturan bunun gibi bir kısmını üzerine tüm kategori Hask dan map. Ama aynı zamanda Hask alt kümeleri arasında numaralı funkörler hakkında konuşmak da mantıklı. Örneğin, Maybe a türlerini [a]'a gönderen bir joker düşünün.

Sen HASK yerine bunun tamamını varsayarak içinde gömülü bazı Kategori Teorisi esinlenen yapılar sağlar category-extras package, incelemek isteyebilir.Hatta sonuçta eğer

http://www.cs.nott.ac.uk/~txa/publ/Relative_Monads.pdf

Answer 2

bir olasılıkla ilgiliolduğunu

• Hask^op: el sorunu için anlamlı olabilir Hask üzerine inşa edilebilir diğer kategorilere sürü Tüm oklarlaüzerine fanktorlar bifunctors
• Virgül kategorileri, yani vardır,
• Hask * Hask
tersine çevirdi. nesneleri sabit bir nesneye a için morfizimler olan morfizma değişmeli üçgenler
• Funktör kategorileri, morfizma doğal dönüşümler
• Cebri kategorileri
• Monoidal kategorileri
• Kleisli kategorileri
• ... olan

Mac Lane'in bir kopyasını alın Çalışma matematikçisi kategorileri tanımları var ve Haskell'de çözdükleri problemi kendiniz bulmaya çalışın. Özellikle, eşlenikli jokeyleri (doğru kategorideki başlangıç ​​/ terminal nesneleri) ve monadlarla ilişkilerini kısaltın.

Göreceksin

böyle olmayan katılık olarak Haskell dili seçimler kapsüller tek bir büyük kategori (Hask, ya da belki de "sağ oklar/products/... ile Hask kaldırıldığı nesneleri", olsa bile o ve lazyness), uygun türetilmiş kategoriler ifade eder.

Answer 3

, sen Hask manipüle bir vardır: (en azından ilginç veya) tartışma özellikle "monads endofunctors olması gerekmez" kağıt bulunan monads ilişkin