Bir entegrasyon kuralı nasıl uygulanır?

Question

Aşağıdaki kimliği kontrol ettim, bunu Mathematica'da nasıl uygulayabilirim? muhtemelen yerleşik işlevleri için kuralları ekleyerek yer alacağı talep ne yapacağını

(* {\[Alpha] \[Element] Reals, \[Beta] \[Element] Reals, \[Mu] \[Element] Reals, \[Sigma] > 0} *) 

Integrate[CDF[NormalDistribution[0, 1], \[Alpha] + \[Beta] x] PDF[ 
NormalDistribution[\[Mu], \[Sigma]], 
x], {x, -\[Infinity], \[Infinity]}] -> CDF[NormalDistribution[0, 1], (\[Alpha] + 
\[Beta] \[Mu])/Sqrt[1 + \[Beta]^2 \[Sigma]^2]] 

Answer 1

En yolları (örneğin Integrate, CDF, PDF, vb), iyi bir seçenek olmayabilir hangi. İşte biraz daha yumuşak bir yol Block hile kullanarak, bir - tabanlı makro:

In[27]:= 
withIntegrationRule[a=Integrate[CDF[NormalDistribution[0,1],\[Alpha]+\[Beta] x] 
    PDF[NormalDistribution[\[Mu],\[Sigma]],x],{x,-\[Infinity],\[Infinity]}]]; 
a 

Out[28]= 1/2 Erfc[-((\[Alpha]+\[Beta] \[Mu])/(Sqrt[2] Sqrt[1+\[Beta]^2 \[Sigma]^2]))] 

kuralımız uymuyor zaman, çalışmaya devam eder, otomatik olarak: Burada

ClearAll[withIntegrationRule]; 
SetAttributes[withIntegrationRule, HoldAll]; 
withIntegrationRule[code_] := 
    Block[{CDF, PDF, Integrate, NormalDistribution}, 
     Integrate[ 
     CDF[NormalDistribution[0, 1], \[Alpha]_ + \[Beta]_ x_] PDF[ 
      NormalDistribution[\[Mu]_, \[Sigma]_], x_], {x_, -\[Infinity], \[Infinity]}] := 
       CDF[NormalDistribution[0, 1], (\[Alpha] + \[Beta] \[Mu])/ 
        Sqrt[1 + \[Beta]^2 \[Sigma]^2]]; 
     code]; 

biz kullanabiliyoruz nasıl Normal değerlendirme yoluna geçiş:

Ben kapalı bir halde olası entegrasyonunu yapmak varsayımlara 0 için \[Alpha] set

In[36]:= 
    Block[{$Assumptions = \[Alpha]>0&&\[Beta]==0&&\[Mu]>0&&\[Sigma]>0}, 
    withIntegrationRule[b=Integrate[CDF[NormalDistribution[0,1],\[Alpha]+\[Beta] x] 
     PDF[NormalDistribution[\[Mu],\[Sigma]],x],{x,0,\[Infinity]}]]] 

Out[36]= 1/4 (1+Erf[\[Alpha]/Sqrt[2]]) (1+Erf[\[Mu]/(Sqrt[2] \[Sigma])]) 

.

Başka bir alternatif kendi özel amaçlı entegratörünüzü uygulamak olabilir.